金融时间序列有几个普遍现象：
一组时间序列本身可能只有非常微弱的相关性，而它的函数（平方项、绝对值）呈现很强的相关性
资产收益率序列的条件方差会随着时间改变，呈现条件异方差的特征
波动集聚（volatility clustering）现象，资产收益率序列的波动会有持续的现象，大波动跟着大波动，小波动跟着小波动
资产收益率序列并不服从正态分布，其极端值较多，具有厚尾（heavy tail）现象
ARCH和GARCH模型就是用来对收益率序列的波动建模预测的，首先我们要弄清楚怎么样衡量波动率。
ARCH
一般先假设收益率序列$\{y_t\}$满足某个方程式，比如AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)，这里用简单的AR(1)说明ARCH模型。
那么$y_{t+1}$的条件方差为：
这启发我们，要预测收益率$y_{t+1}$的方差（波动率）的问题，转化为预测$E_t(\epsilon_{t+1})^2$的问题。
一个简单的解决办法将残差估计值的平方建模为AR(q)模型：
其中$v_t$是白噪音过程，而$\epsilon_t$可以来自一个自回归、ARMA、或标准常见的回归模型，所以ARCH有很多用途。
实际上将干扰项$v_t$表示为乘法干扰项更容易处理，这就是我们所说的ARCH(1)模型：
其中$v_t$为白噪音过程，$v_t \sim IID(0,1)$，$v_t$和$\epsilon_{t-1}$相互独立。这样设定的优点在于收益率序列的自回归模型里面，$\epsilon_t$仍然是白噪声过程（均值为0，方差恒定，所有自协方差为0），但ARCH(1)的影响全部体现在了条件方差上，这样我们能够利用最近几期的信息去预测下一期的收益率的波动率（方差）。
验证$\epsilon_t$为白噪声过程：
(1) 由$v_t$和$\epsilon_{t-1}$相互独立及$E(v_t)=0$，得
(2) 由无条件方差$E(\epsilon_t^2)=E(\epsilon_{t-1}^2)$，得
整理得$\epsilon_t$的（恒定）方差为
(3) 由$v_t$属于白噪声，所以自协方差满足
至此知道了$\epsilon_t$保留白噪声的优良性质，下面可以验证代表$y_t$的条件方差$\epsilon_t^2$可以用自回归模型来预测：
记住，ARCH模型是完全单纯的统计模型，他们只是捕捉到金融序列的特征，而不能用来解释金融序列为何有这些特征。
ARCH(q)模型的估计过程：
（1）设定阶数$p$，为确定ARCH(q)模型中的阶数，在检验得知时间序列$\{\epsilon_t\}$确实存在显著的ARCH效应后，我们可以用$\epsilon_t^2$的偏自相关函数（PACF）来确定$p$
（2）确定模型阶数$p$后，常常假设干扰项$v_t$服从某一分布（标准正态分布、标准化的t分布、广义误差分布）,然后使用极大似然法估计。
（3）在参数估计后，需要检验模型设定。最常见的检验依赖于以下事实：一个正确设定的ARCH模型，标准化残差
是独立同分布的随机过程，因此$\hat{v_t}$和$\hat{v}_t^2$的Ljung-Box统计量可以分别用来检验均值方程和波动率方程的正确性。
GARCH
Bollerslev(1996)扩展了Engle的原始模型，引入了允许条件方差转化为ARMA过程的方法。现在假设误差过程为：
这个模型就是GARCH(p,q)，p个自回归项，q个误差项，实际意义上认为收益率序列每个时间点的波动率是最近p个波动率和q个残差平方的的线性组合。GARCH的优点显而易见，一个高阶的ARCH模型可能有一个更为简洁和更易识别和估算的GARCH表达式，因为估计参数更加少了。
ARCH和GARCH模型的不足之处是类似的，两种模型认为波动是对称的，因为是对$\epsilon_t^2$建模；其次是参数需要满足的约束非常复杂；最后是拟合波动率的做法有投机取巧的嫌疑，要进一步理解波动率的动态还需要其他理论。
